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《通信學報》2014年第六期

1復雜網(wǎng)絡級聯(lián)失效分析

1.1級聯(lián)失效基礎理論復雜網(wǎng)絡的早期研究對象多為無權網(wǎng)絡，即布爾網(wǎng)絡。然而，實際網(wǎng)絡表現(xiàn)出豐富的多樣性使得用無權網(wǎng)絡來描述實際網(wǎng)絡時存在諸多不足[18]。加權網(wǎng)絡的出現(xiàn)為描述實際網(wǎng)絡節(jié)點之間的相互作用提供了更好的手段，同時網(wǎng)絡權重及其分布率也會對復雜網(wǎng)絡結(jié)構和功能產(chǎn)生重要影響。在實際工作中，將網(wǎng)絡系統(tǒng)抽象為加權網(wǎng)絡的過程已經(jīng)有了很多研究成果[19~21]。本文考慮的權重模型與節(jié)點的度相關[22]，賦權方式如下：wij=wji=(kikj)θ，θ(θ>0)用來描述權重與節(jié)點度之間的相互關系；邊ij的2個節(jié)點的度值分別為ki和kj。這種加權網(wǎng)絡模型的合理性已經(jīng)為實證研究證實[23~25]，且得到了廣泛應用。在該模型中，權重系數(shù)θ決定了網(wǎng)絡中邊權的異質(zhì)性，當θ=0時，邊權都為1，加權網(wǎng)絡即退化為無權網(wǎng)絡；當θ>0時，θ越大則網(wǎng)絡中邊的權重差異越大。加權網(wǎng)絡的級聯(lián)失效可以假定為一個微小的初始攻擊觸發(fā)，比如切斷網(wǎng)絡中的一條邊。級聯(lián)失效發(fā)生時，這條邊上的負載進行重分配，各條鄰邊上接收的負載與其自身權重成正比。如圖1所示，當邊ij失效時，其上的負載被重分配給了其鄰邊，且邊ik接收到的流量Δlik正比于其權重wik，表示為級聯(lián)失效發(fā)生后，隨著超載邊的失效而不斷傳播，直至網(wǎng)絡中各邊的負載都在其能處理的范圍內(nèi)為止。關于加權網(wǎng)絡的初始負載，研究人員通常將邊的負載定義為該邊的介數(shù)。Holme等研究表明，網(wǎng)絡中邊的介數(shù)正比于其端節(jié)點度的乘積[26]，因而可以認為，在級聯(lián)失效發(fā)生之前，邊上的負載與其權重相等。

1.2一種非線性負載容量模型在實際網(wǎng)絡系統(tǒng)中，邊的容量受網(wǎng)絡成本和可用資源的約束。因此，以往研究中假定節(jié)點（邊）的容量正比于權重，形如C=λL，其中常數(shù)λ(λ>1)為容量參數(shù)，L為負載。λ−1表示節(jié)點或邊上的冗余容量，反映其承受額外負擔的能力。典型的例子是Motter等提出的ML模型[11]，假設節(jié)點容量Ci正比于其負載Li，函數(shù)形式如下其中，≥0，≥0是自由參數(shù)，γ是控制資源分配異質(zhì)性的參數(shù)。在該模型中，額外資源與拓撲結(jié)構是相互耦合的。額外資源的分配不僅依賴于節(jié)點的負載，而且依賴于節(jié)點度。在相同的額外資源下，該模型優(yōu)于ML模型，且加權網(wǎng)絡的抗毀性隨著參數(shù)單調(diào)增加，趨勢較為穩(wěn)定。上述模型中都傾向于保護網(wǎng)絡中負載高的節(jié)點，這僅僅是從網(wǎng)絡防御的角度來講的。然而，Kim等對航空網(wǎng)、交通網(wǎng)、電力網(wǎng)等的研究發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡中容量較小的節(jié)點（反而具有較大的空閑容量[17]，即表明負載與容量之間的非線性特征。本文引入2個容量參數(shù)，給出了一種負載容量非線性模型，其中加權網(wǎng)絡邊的容量為初始負載與額外負載的和其中，>0，β>0。該模型中含有2個可變參數(shù)，可以通過調(diào)節(jié)系數(shù)和β來對不同網(wǎng)絡的負載容量非線性模型進行調(diào)整，且當=1時該模型即退化為ML模型。圖2給出了2種模型在對數(shù)坐標系中的比較，黑色線為參考線。由圖2可知，非線性負載容量模型的曲線特征與實證研究的結(jié)論是一致的。

2小世界網(wǎng)絡級聯(lián)抗毀性仿真分析

拓撲結(jié)構在網(wǎng)絡動力學方面扮演著重要角色，典型的拓撲結(jié)構網(wǎng)絡有助于更好地理解與控制因子相繼故障導致的災難。實際網(wǎng)絡大都是小世界網(wǎng)絡，為了更好地理解典型網(wǎng)絡模型中特征參數(shù)與級聯(lián)抗毀性之間的關系，本文重點研究了小世界網(wǎng)絡的級聯(lián)抗毀性。首先，構建小世界網(wǎng)絡，常見的小世界網(wǎng)絡主要有WS小世界網(wǎng)絡和NW小世界網(wǎng)絡。由于WS小世界網(wǎng)絡模型構造算法中的隨機化重連可能破壞網(wǎng)絡的連通性，因此Newman和Watts提出了NW小世界網(wǎng)絡。NW小世界網(wǎng)絡的構建采用在規(guī)則圖上隨機化加邊的方式，網(wǎng)絡節(jié)點總數(shù)N=5000，m0=2，p在[0.11.0]之間取值。然后，對小世界網(wǎng)絡進行賦權，其中，θ在[02]之間取值。小世界網(wǎng)絡的級聯(lián)抗毀性是與權重、容量參數(shù)等是密切相關的，抗毀性解析分析較為復雜，不易給出準確的解析模型，本文主要采用數(shù)值模擬的方法對其級聯(lián)抗毀性進行分析。采用的仿真工具為MATLAB7.0和VC++6.0工具軟件，前者用來生成網(wǎng)絡，后者用來對攻擊過程進行模擬計算，仿真結(jié)果均為數(shù)次計算的平均值。在級聯(lián)失效的仿真過程中，失效邊的尋找采取了廣度優(yōu)先算法，級聯(lián)失效的停止條件為各條邊上的負載均不超過其容量，也就是當某條邊被惡意攻擊后，其上的負載被重新分配，然后判斷負載重新分配后是否有鄰邊的負載超過其容量，如果有就將其斷開，斷邊上的流量則繼續(xù)重新分配，這個過程一直持續(xù)到網(wǎng)絡中沒有斷邊為止。另外，為了衡量整個網(wǎng)絡的抗毀性，采用標準化崩塌規(guī)模[18]來刻畫級聯(lián)失效對于網(wǎng)絡的平均破壞程度。

2.1容量參數(shù)固定的情況小世界網(wǎng)絡中邊的容量是由容量參數(shù)決定的，通過實證研究獲得容量參數(shù)的近似值。此處，設定容量參數(shù)=0.45，β=0.20，NW小世界網(wǎng)絡的抗毀性變化曲線如圖3所示。由圖3可知，在，β確定的情況下，NW小世界網(wǎng)絡的抗毀性隨θ的增大而降低。當θ≤0.3時網(wǎng)絡表現(xiàn)出較強的抗毀性，然而當θ>0.3時，SN迅速增大，且當θ>0.4時，NW小世界網(wǎng)絡全盤崩潰。這一結(jié)論與文獻[7]進一步的研究結(jié)論完全不同。在負載容量線性模型中，NW小世界網(wǎng)絡的抗毀性變化曲線如圖4所示。文獻[12]等采用線性負載容量模型研究了NW小世界網(wǎng)絡的抗毀性，對其進行進一步的研究，可以發(fā)現(xiàn)隨著失效范圍的不斷擴大，標準化崩塌規(guī)模與閾值T的關系遵循非線性規(guī)律。然而對于不同的閾值T，抗毀性與權重系數(shù)間沒有顯見的規(guī)律可循，這與本文上述得出的結(jié)論是截然不同的。

2.2不同容量參數(shù)的情況實證研究的結(jié)論表明，不同網(wǎng)絡中負載容量的關系曲線不盡相同[17]。圖5和圖6為NW小世界網(wǎng)絡級聯(lián)抗毀性與容量參數(shù)的關系曲線。由圖5(a)可知，NW小世界網(wǎng)絡的級聯(lián)抗毀性隨θ的增大而降低，而隨著的不斷增大，網(wǎng)絡的抗毀性不斷增強，圖5(b)為θ=0.5的情形，權限存在一個臨界點(=0.5)，繼續(xù)增大時，NW小世界網(wǎng)絡抗毀性達到最強。在圖6中，參數(shù)β對NW小世界網(wǎng)絡級聯(lián)抗毀性的影響與類似。由圖5和圖6可知，不同容量參數(shù)的NW小世界網(wǎng)絡在權重系數(shù)較小時，表現(xiàn)出較強的抗毀性。隨著容量參數(shù)的增大，網(wǎng)絡中的冗余容量ΔC也不斷增大，網(wǎng)絡成本隨即增加。在對網(wǎng)絡抗毀性進行優(yōu)化時，要協(xié)調(diào)權重系數(shù)與容量參數(shù)的關系以達到抗毀性最優(yōu)。

2.3網(wǎng)絡密度對抗毀性的影響網(wǎng)絡密度對NW小世界網(wǎng)絡級聯(lián)抗毀性的影響與參數(shù)p相關，小世界網(wǎng)絡級聯(lián)抗毀性與參數(shù)p的關系曲線如圖7所示。由圖7(a)可知，隨著權重系數(shù)θ的不斷增大，NW小世界網(wǎng)絡的抗毀性不斷減弱，且在θ<0.4時抗毀性較強，當θ>0.5時抗毀性較弱。NW小世界網(wǎng)絡的級聯(lián)抗毀性與p的關系如圖7(b)所示，可以看出在θ=0.4的情況下，NW小世界網(wǎng)絡的級聯(lián)抗毀性隨p的增大而不斷增強，且不同θ值小世界網(wǎng)絡的抗毀性對參數(shù)p的敏感程度相差較大，θ值越小，網(wǎng)絡密度越小，則小世界網(wǎng)絡對p值的敏感度越小。圖7不同網(wǎng)絡密度時小世界網(wǎng)絡的抗毀性變化曲線

2.4考慮成本與性能的抗毀性優(yōu)化分析現(xiàn)實網(wǎng)絡的抗毀性優(yōu)化設計需要考慮的另一個實際問題是：在成本給定的情況下，如何使得網(wǎng)絡的抗毀性最優(yōu)[29]。前面主要研究了小世界網(wǎng)絡的級聯(lián)抗毀性與網(wǎng)絡特征參數(shù)的定性關系，下面給出小世界網(wǎng)絡級聯(lián)抗毀性的定量分析模型。在該模型中，NW小世界網(wǎng)絡的抗毀性可表示為頑健性與成本的函數(shù)F=R–((1–γ)S(<k>)+γS(C))(5)其中，F(xiàn)為抗毀性目標函數(shù)，γ為加權系數(shù)，表示邊容量決定成本的重要性。網(wǎng)絡成本和抗毀性約束下，NW小世界網(wǎng)絡的級聯(lián)抗毀性與網(wǎng)絡特征參數(shù)的關系如圖8所示。由圖8(a)可知，小世界網(wǎng)絡在權重系數(shù)較小時，表現(xiàn)出較強的級聯(lián)抗毀性，而隨著權重系數(shù)的增大又迅速降低，到θ≥0.5時網(wǎng)絡幾乎全盤崩潰。由圖8(b)和圖8(c)可知，小世界網(wǎng)絡的級聯(lián)抗毀性隨容量參數(shù)的增大表現(xiàn)出先強后減的趨勢，表明NW小世界網(wǎng)絡存在最優(yōu)抗毀性，以θ=0.5為例，網(wǎng)絡在=0.45，β=0.30時抗毀性最強，函數(shù)值達到0.89。此處僅考慮了γ=1的情況，這是因為容量成本對于小世界網(wǎng)絡級聯(lián)抗毀性的影響更大，且通過改變?nèi)萘縼韮?yōu)化復雜網(wǎng)絡的級聯(lián)抗毀性較改變網(wǎng)絡密度的方法更具可操作性。本文的研究成果能夠從整體上把握小世界網(wǎng)絡對于級聯(lián)失效的頑健性，且能靈活調(diào)節(jié)網(wǎng)絡特征參數(shù)使得網(wǎng)絡的級聯(lián)抗毀性取得最優(yōu)。

3結(jié)束語

本文對小世界網(wǎng)絡在非線性負載容量模型條件下的級聯(lián)抗毀性進行了深入研究。結(jié)果表明，對于不同參數(shù)特征的小世界網(wǎng)絡，其抗毀性隨權重系數(shù)的增大而降低，隨容量參數(shù)的增大而增強，且存在最優(yōu)網(wǎng)絡參數(shù)使得網(wǎng)絡的級聯(lián)抗毀性達到最優(yōu)，這與之前的研究成果是不同的。下一步研究將重點考慮加權網(wǎng)絡在蓄意攻擊下的級聯(lián)抗毀性問題。

作者：吳曉平王甲生秦艷琳葉清單位：海軍工程大學信息安全系